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A

$\frac{3}{2}$

$2 \sqrt{3}+\frac{2π}{3}\ $

$解：(2)不存在，理由如下：$

$假设存在某一时刻，使得 PD 平分∠APQ，则∠APD=∠DPQ$

$∵AB//CD$

$∴∠APD=∠PDQ$

$∴∠DPQ=∠PDQ$

$∴PQ=DQ$

$由(1)，得PQ²=PE²+QE²=(6-3t)²+3²，DQ²=(10-t)²$

$∴(6-3t)²+3²=(10-t)²$

$解得t=\frac{4±3\sqrt{14}}{4}(不合题意，舍去)$

$故不存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ$

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$解：(1)设运动的时间为t s，则0＜t≤3$

$由题意，得 AP=2t\ \mathrm {cm}，CQ=t\ \mathrm {cm}$

$过点A作AF⊥CD于点F$

$则∠AFC=∠AFD=90°$

$∵AB//CD，∠C=90°$

$∴∠B=180°-∠C=90°$

$∴四边形ABCF 是矩形$

$∴CF=AB=6\ \mathrm {cm}$

$∵CD=10\ \mathrm {cm}$

$∴DF=CD-CF=4\ \mathrm {cm}$

$∵AD=5\ \mathrm {cm}$

$∴AF= \sqrt{AD²-DF²}=3\ \mathrm {cm}$

$过点Q 作QE⊥AB于点E$

$则∠QEP=90°，QE=AF=3\ \mathrm {cm}，$

$BE=CQ=t\ \mathrm {cm}$

$∵PQ=5\ \mathrm {cm}$

$∴PE= \sqrt{PQ²-QE²}=4\ \mathrm {cm}$

$当点 P 在点E左侧时，$

$PE=AB-AP-BE=(6-3t)\ \mathrm {cm}$

$∴6-3t=4$

$解得t=\frac{2}{3}$

$当点 P 在点E右侧时，$

$PE=BE-(AB-AP)=(3t-6)\ \mathrm {cm}$

$∴3t-6=4$

$解得t=\frac{10}{3}(不合题意，舍去)$

$故经过\frac{2}{3}s，点P，Q 之间的距离为5\ \mathrm {cm}$

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