$解：(1)∵∠AOC=60°，OA=AC$
$∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°.$
$(2)∵A(4，0)，∴AC=OA=4$
$∵直线 CP 与\odot A相切，∴AC⊥CP，∴∠ACP=90°$
$∵∠OAC=60°，∴∠APC=90°-∠OAC=30°$
$∴AP=2AC=8，∴OP=AP-OA=4$
$(3)若△OCQ 是等腰三角形，则分类讨论如下：$
$\ ①当点P 在线段OA上时，OC=OQ，则由圆的对称性可知CQ⊥OB$
$∵△OAC是等边三角形，OA=4，∴OP=\frac{1}{2}OA=2$
$②当点P 在线段AB上时，OQ=CQ$
$连接AQ，过点Q作QM⊥x轴于点M，则∠OMQ=90°$
$∵∠OAC=60°，∴∠OQC=\frac{1}{2}∠OAC=30°$
$∴∠OCQ=∠COQ=\frac{1}{2}(180°-∠OQC)=75°$
$∵∠AOC=60°，∴∠AOQ=∠COQ -∠AOC=15°$
$∴∠MAQ=2∠AOQ=30°$
$∵AQ=OA=4，∴QM=\frac{1}{2}AQ=2，∴AM=\sqrt {AQ²-QM²}=2 \sqrt{3}$
$∴OM=OA+AM=4+2 \sqrt{3}$
$∵∠QPM=∠AOQ+∠OQC=45°，∴∠PQM=90°-∠QPM=45°$
$∴∠QPM=∠PQM，∴PM=QM=2，∴OP=OM-PM=2+2 \sqrt{3}$
$综上所述，OP 的长为2或2+2 \sqrt{3}$
