$解：(1)①∵AB=BC，∴\widehat{AB}=\widehat{BC}$
$∴∠ADB=∠CDB，即弦DB平分圆周角∠ADC$
$∴⊙O中存在“爪形D”\ $
$②如图，延长DC至点E，使CE=AD，连接BE$
$∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°$
$∵∠BCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠BCE$
$在△ABD 和△CBE 中$
$\begin{cases}{AB=CB}\\{∠A=∠BCE}\\{AD=CE}\end{cases}$
$∴△ABD≌△CBE$
$∴BD=BE，∠ADB=∠E$
$∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°$
$∴∠ADB+∠BDE=90°，∴∠E+∠BDE=90°$
$∴∠DBE=90°，∴DE=\sqrt{BD²+BE²}= \sqrt{2}\ \mathrm {BD}$
$∵DE=CE+CD=AD+CD，∴AD+CD= \sqrt{2}BD$
$(2)如图，延长DC至点F，使CF=AD，连接 BF$
$则同(1)②可得BD=BF$
$∵AD+CD=BD，∴CF+CD=BD$
$∴DF=BD，∴DF=BD=BF$
$∴△BDF 为等边三角形，∴∠BDF=60°$
$∵DB 平分∠ADC，∴∠ADC=2∠BDF=120°$
