第163页 - 经纶学典学霸七年级数学上下册【江苏国标】

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$解：(2)如图①，\ $

$因为∠AOB=120°，∠COD=60°，∠BOC= n°,$

$所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+ n°,∠BOD=∠COD+∠BOC=60°+n°.$

$因为 ∠AOM = \frac{1}{3} ∠AOC, ∠BON =\ \frac{1}{3}∠BOD,$

$所以∠MOC=\frac{2}{3}(120°+n°)=80°+\frac{2}{3}n°，∠NOD=\frac{2}{3}(60+n°)=40°+\frac 23n°$

$解：(3)①当0＜n＜60时，如图②,\ $

$因为∠BOC=n°，$

$所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-n°,∠BOD=∠COD-∠BOC=60°-n°,$

$因为∠AOM=\frac{1}{3}∠AOC,∠BON=\frac{1}{3}∠BOD,$

$所以∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON=\frac{2}{3}(120°-n°)+n°+\frac13(60°-n°)=80°-\frac{2}{3}n°+n°+20°-\frac13n°=100°.$

$当60＜n＜120时，如图③,\ $

$因为∠BOC=n°，$

$所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-n°,∠BOD=∠BOC-∠DOC=n°-60°,$

$所以∠MON=∠MOC+∠BOC-∠BON=\frac{2}{3}(120°-n°)+n°-\frac{1}{3}(n°-60°)=80°-\frac{2}{3}n°+n°-\frac{1}{3}n°+20°=100°.$

$综上所述，∠MON的度数为100°.$

$解：(1)因为∠BOD：∠AOD=4：6，$

$且∠AOD+∠BOD=180°，$

$所以 ∠AOD=\frac{3}{5}×180°=108°.$

$因为OC平分∠AOD，$

$所以∠AOC=\frac{1}{2}∠AOD=54°.$

$解：(2)如图①所示，OE即为所求.\ $

$因为OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，$

$所以∠COD=\frac{1}{2}∠AOD，∠EOD=\frac{1}{2}∠BOD，$

$所以∠COE=∠COD+∠EOD=\frac{1}{2}(∠AOD+∠BOD)=90°.$

$解：(3)当射线OE在∠BOD内部时，如图②，设∠1=α，$

$根据题意得∠2=4∠1=4α，$

$因为∠COE=∠1+∠3=75°，$

$所以∠3=75°-α.$

$因为OC平分∠AOD，$

$所以∠4=∠3=75°-α.$

$因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°，$

$所以α+4a+75°-a+75°-α=180°，$

$解得α=10°，所以∠2=4α=40°，$

$所以∠BOE=40°.\ $

$③ 当射线OE在∠BOD外部时，如图③,$

$因为∠BOE=4∠DOE，设∠DOE=α，$

$则∠DOB=3α.$

$所以∠AOD=180°-∠DOB=180°-3α$

$因为OC平分∠AOD，$

$所以∠COD=\frac{1}{2}∠AOD=90°-\frac{3}{2}α，$

$所以∠COE=∠COD-∠EOD=90°-\frac 32α-α=90°-\frac52α\ $

$因为∠COE=75°，$

$所以90°-\frac 52α =75°，$

$所以α=6°，$

$所以∠BOE=4a=24°.$

$综上所述，∠BOE=40°或24°.$