$解:连接CE.$ $ 在Rt△AEC和Rt△DEC中，$ $\begin{cases}{CA=CD,}\\{ CE=CE,}\end{cases}$ $ ∴Rt△AEC≌Rt△DEC(\mathrm {HL}),$ $ ∴AE=DE.$ $∵DE=4,$ $∴AE=4.$ $ ∵AB=10，$ $∴BE=AB-AE=10-4=6.$ $证明:∵BE=CF,$ $∴BE+EF=CF+EF，$ $即BF=CE.$ $ ∵∠A=∠D=90°,$ $ ∴△ABF与△DCE都为直角三角形$ $ 在R t△ABF和Rt △DCE中,$ $\begin{cases}{BF=CE}\\{AB=DC}\end{cases}$ $ ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(\mathrm {HL}).$
$证明:(1)∵AD是△ABC的中线，$ $∴BD=CD.\ $ $∵BE⊥AD,CF⊥AD,$ $∴∠BED=∠F=90°.\ $ $在△BED和△CFD中，\ $ $\begin{cases}{∠BED=∠F,\ }\\{∠BDE=∠CDF,\ }\\{BD=CD,\ }\end{cases}$ $∴△BED≌△CFD(\mathrm {AAS}),$ $∴BE=CF.$ $解:(2)∵∠ADC=∠AEB=90°,$ $ ∴∠BDC=∠CEB=180°-90°=90°.$ $ 在△DOB和△EOC中，$ $\begin{cases}{ ∠BDO=∠CEO,}\\{ ∠DOB=∠EOC,}\\{ OB=OC，}\end{cases}$ $ ∴△DOB≌△EOC(\mathrm {AAS}),$ $∴OD=OE.$ $ 在Rt△ADO和Rt△AEO中,$ $\begin{cases}{OD=OE}\\{OA=OA}\end{cases}$ $ ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(\mathrm {HL}),$ $∴∠1=∠2.$
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