$证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB，$ $∴∠B+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°，$ $∴∠B=∠C.$ $ 又BM=CA,AB=NC,$ $ ∴△ABM≌△NCA(\mathrm {SAS}),$ $∴∠BAM=∠N.$ $ ∵∠N+∠NAF=90°,$ $ ∴∠BAM+∠NAF=90°，$ $即∠MAN=90°,$ $ ∴AM⊥AN.$
$证明:(1)∵BD、CE是△ABC的两条高，\ $ $∴∠AEC=∠ADB=90°.\ $ $在△ABD和△ACE中，\ $ $\begin{cases}{∠A=∠A,\ }\\{∠ADB=∠AEC,\ }\\{AB=AC,\ }\end{cases}$ $∴△ABD≌△ACE(\mathrm {AAS}). $ $(2)∵△ABD≌△ACE,$ $∴AD=AE.\ $ $∵AB=AC,$ $∴AB-AE=AC-AD,$ $∴BE=CD$
$解:AB=AD+BE.证明如下:\ $ $∵∠DCE=∠A,\ $ $∴∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE,\ $ $∴∠D=∠BCE.\ $ $在△ACD和△BEC中，$ $\begin{cases}{∠A=∠B,\ }\\{∠D=∠BCE,\ }\\{CD=EC，\ }\end{cases}$ $∴△ACD≌△BEC(\mathrm {AAS}),\ $ $∴AD=BC,AC=BE,\ $ $∴BC+AC=AD+BE，$ $∴AB=AD+BE. $
$证明:(2)如图，延长FD至点G，使DG=DF，$ $ 连接BG、EG.$ $ ∵点D是BC的中点，$ $∴DB=DC. $ $ $ $ ∵∠BDG=∠CDF,DG=DF,\ $ $ ∴△BDG≌△CDF(\mathrm {SAS}),$ $∴BG=CF.\ $ $∵ED⊥FD, $ $ ∴∠EDF=∠EDG=90°.$ $ 又ED=ED,FD=GD,$ $ ∴△EDF≌△EDG(\mathrm {SAS}),$ $∴EF=EG,$ $ ∵在△BEG中,BE+BG\gt EG,$ $ ∴BE+CF\gt EF.$
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