$证明:如图，延长AE至点G，使EG=AE，连接DG.$ $∵E是DC的中点，$ $∴DE=CE. $ $ 又AE=GE,∠AEC=∠GED,$ $ ∴△AEC≌△GED(\mathrm {SAS}),$ $ ∴CA=DG,∠ACB=∠EDG.$ $ ∵AC=DC,∴∠ADC=∠CAD,$ $ ∴∠ADB=∠CAD+∠C=∠ADC+∠C$ $=∠ADC+∠EDG=∠ADG.$ $ 又BD=AC，∴BD=GD.$ $ 又AD=AD,∴△ADB≌△ADG(\mathrm {SAS}),$ $ ∴∠BAD=∠GAD，即AD平分∠BAE.$ $证明:如图，延长BE交AP于点F.$ $∵AD//BC,$ $∴∠AFE=∠CBE, $ $ ∵∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,$ $ ∴∠FAE=∠BAE,∠CBE=∠ABE,$ $ ∴∠AFE=∠ABE.$ $在△AFE和△ABE中,$ $\begin{cases}{∠AFE=∠ABE}\\{∠FAE=∠BAE, }\\{AE=AE,}\end{cases}$ $ ∴△AFE≌△ABE(\mathrm {AAS}),$ $∴FE=BE,AF=AB.$ $在△DEF和△CEB中,\ $ $\begin{cases}{∠DFE=∠CBE,}\\{FE=BE, }\\{∠FED=∠BEC,}\end{cases}$ $ ∴△DEF≌△CEB(\mathrm {ASA}),$ $∴DF=BC,$ $ ∴AD+BC=AD+DF=AF=AB.$ $解:如图，将△ADF绕点A顺时针$ $旋转90°至△ABG，则$ $ GE=GB+BE=DF+BE=EF.$ $在△AEF和△AEG中,\ $ $\begin{cases}{AE=AE,}\\{AF=AG， }\\{ FE=GE，}\end{cases}$ $ ∴△AEF≌△AEG(\mathrm {SSS}),$ $∴∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF.$ $ 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90°,$ $ ∴∠EAF=45°.$
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