$解:(2)设EG=x，$ $由(1)，得EF=EH=EG=x，\ $ $∵S_{△ACD}=15,AD=4,CD=8,\ $ $∴\frac{1}{2}×AD×EG+\frac{1}{2}×CD×EH=15，\ $ $即4x+8x=30，$ $解得x=2.5，$ $∴EF=x=2.5，\ $ $∴S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×EF=\frac{1}{2}×7×2.5=\frac{35}{4}.$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$解:(3)(\mathrm {i})∠APB=135°+\frac{1}{2}α.理由如下:\ $ $根据题意，得∠AOB=90°+α,\ $ $∴∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=90°-α.\ $ $∵AP平分∠BAO,BP平分∠ABO，\ $ $∴∠PAB+∠PBA=\frac{1}{2}(∠OAB+∠OBA)=45°-\frac{1}{2}α，\ $ $∴∠APB=180°-(45°-\frac{1}{2}α)=135°+\frac{1}{2}α.$
$证明:(1)∵AE是∠BAD的平分线，\ $ $∴∠BAD=2∠BAF.\ $ $∵∠BFE=45°,$ $∴∠FBA+∠BAF=45°,\ $ $∴2∠FBA+2∠BAF=90°.\ $ $∵AD为BC边上的高，\ $ $∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°,\ $ $∴2∠FBA=∠EBF+∠FBA,\ $ $∴∠EBF=∠FBA,$ $∴BF平分∠ABE.$
$证明:(2)如图，过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB于 点N.\ $ $∵BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,\ $ $∴FM=FN.\ $ $∵S_{△ABF}=S_{△CBF}，$ $即AB×FN=BC×FM,\ $ $∴AB=BC.$ $在△ABF和△CBF中，$ $\ AB=CB，\ $ $∠FBA=∠FBC,\ $ $BF=BF,\ $ $∴△ABF≌△CBF(\mathrm {SAS}),$ $∴∠AFB=∠CFB.$ $\ ∵∠BFE=45°$ $∴∠AFB=180°-45°=135°，\ $ $∴∠CFB=135°,\ $ $∴∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°-45°=90°,\ $ $∴∠AFC=180°-90°=90°.$
$解:(3)∵△ABF≌△CBF,$ $∴AF=FC.$ $ ∵∠AFC=∠ADC=90°,$ $∠AGF=∠CGD,$ $ ∴∠FAG=∠FCE.$ $在△AFG和△CFE中，$ $\begin{cases}{ ∠FAG=∠FCE,}\\{\ AF=CF,}\\{∠AFG=∠CFE,}\end{cases}$ $ ∴△AFG≌△CFE(\mathrm {ASA}),$ $∴AG=EC=4.5.$ $ ∵BE=3,$ $∴BC=BE+EC=7.5，$ $ 又△ABF≌△CBF,$ $∴AB=BC=7.5.$
$解:(2)不变化，∠APB=135°.如图(1)，\ $ $∵直线m⊥直线n，$ $∴∠AOB=90°,\ $ $∴∠OAB+∠OBA=90°.\ $ $∵AP平分∠BAO,BP平分∠ABO,\ $ $∴∠PAB+∠PBA=\frac{1}{2}(∠OAB+∠ABO)$ $=\frac{1}{2}×90°$ $=45°，$ $∴∠APB=180°-45°=135°.\ $
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