解：$(2)$当容器乙注满水时，此时容器甲中
水位的高度是$\frac {80×6-40×9}{80}=\frac 32(\mathrm {dm})$
$(3)①$在容器乙未注满水时，设开始注水$x$分钟，
容器甲中水位比容器乙中水位高$4\ \mathrm {dm}$
根据题意，得$(6-\frac {1}{4}x)-\frac {1}{2}x=4$
解得$x=\frac {8}{3}$
②在容器乙未中注满水时，设开始注水$y$分钟，
容器乙中水位比容器甲中水位高$4\ \mathrm {dm}$
根据题意，得$\frac {1}{2}y-(6-\frac {1}{4}y)=4$
解得$y=\frac {40}{3}$
③容器乙注满水后，设$z$分钟容器乙中水位
比容器甲中水位高$4\ \mathrm {dm}$
根据题意，得$9-\frac {60-20}{40}× (z-\frac {40×9}{20})-(6-\frac {1}{4}z)=4$
解得之$=\frac {68}{3}$
∴容器乙中注满水后，$\frac {68}{3}$分钟容器乙水位
比容器甲中水位高$4\ \mathrm {dm}$
综上所述，从容器甲开始注水起，经过$\frac {8}{3}$分钟或$\frac {40}{3}$分钟
或$\frac {68}{3}$分钟，两个容器中水位的高度相差$4\ \mathrm {dm}.$
