$ 解：(1)原方程变形为x^2-kx-3(k+3)=0，$
$ ∵b²－4ac=(-k)^2-4×[-3(k+3)]=k_{2}+12k+36=(k+6)^2，$
$ ∴当k=-6时，b²－4ac=0，方程有两个相等的实数解.$
$ 当k≠-6时，b²－4ac＞0，方程总有两个不相等实数根.$
$ (2)存在．$
$ 理由如下：$
$ x=\frac {k±(k+6)}{2}，$
$ 解得x_1=k+3，x_2=-3，$
$ 当k+3=-1时，k=-4；$
$ 当k+3=-5时，k=-8，$
$ ∴当k取实数-8或-4，使原方程两个根为连续奇数．$
