$解:因为AB=12,AC:CD:DB=1:2:3,$
$所以AC=\frac{1}{6}×12=2,CD=\frac{2}{6}×12=4,DB=\frac{3}{6}×12=6.$
$所以AM=\frac{1}{2}AC=1,DN=\frac{1}{4}\ \mathrm {DB}={3}{2}.$
$①如图①，当点 N在点D的右侧时，MN=MC+CD+DN=2-1+4+\frac{3}{2}=\frac{13}{2};$
$②如图②，当点N在点D的左侧时，MN=MC+CD-DN=2-1+4-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}\ $
$综上所述，线段MN的长为\frac{13}{2}或\frac{7}{2} .$
