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$证明：(1)∵BD平分∠ABC$

$∴∠ABD=∠DBC$

$∵DE//BC$

$∴∠EDB=∠DBC$

$∴∠ABD=∠EDB$

$∴BE=DE$

$(2)∵∠A=80°，∠C=40°$

$∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°$

$∴ ∠BDE=∠ABD=\frac 12∠ABC=30°$

$证明： ( 1)在Rt△ABC中$

$∵∠ABC=90°，M是AC的中点∴ BM=\frac 12AC$

$又∵∠ADC=90°，M是AC的中点$

$∴ DM=\frac 12AC∴DM= BM$

$( 2 ) ∵N是BD的中点∴BN= DN$

$在△ BMN与△DMN中$

$\begin{cases}BM=DM\\MN=MN\\BN=DN\end{cases}$

$∴△ BMN≌△DMN ( SSS )$

$∴∠BNM=∠DNM$

$又∵∠BNM+∠DNM= 180° $

$∴∠BNM=∠DNM=90°，即MN⊥BD$

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