$解：(1) y=x+1$
$(2) (4，5)或(-5，-4)或(3，4)或(-4，-3)$
$(3)设点Q的坐标为(a，2a-1)，$
$点P的坐标为(b，b+1)，$
$∵PQ= \sqrt{2}，$
$∴PQ²=2，即(a-b)²+(2a-b-2)²=2 ①，$
$又∵以点Q为圆心， \sqrt{2}为半径的圆与直线{l}_1相切，$
$∴点Q到直线{l}_1：y=x+1的距离为 \sqrt{2}，即 \frac {|a-(2a-1)+1|}{\sqrt{{1}^2+(-1)^2}}= \sqrt{2}，$
$整理得：|2-a|=2，$
$解得：a=0或a=4，$
$将a=0代入①，得：b²+2b+1=0，$
$解得：b=-1，$
$∴点P的坐标为(-1，0)；$
$将a=4代入①，得：b²-10b+25=0，$
$解得：b=5，$
$∴点P的坐标为(5，6)，$
$综上，点P的坐标为(-1，0)或(5，6)．$
