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$ 证明：(1)∵△=(2k+1)^2-4(k^2+k)=1＞0，$

$∴方程有两个不相等的实数根.$

$(2)解：一元二次方程x^2-(2k+1)x+k^2+k=0的解为x＝\frac {2k+1±1}{2}，$

$即x_1=k+1，x_2=k，$

$∵k＜k+1，$

$∴AB≠AC．$

$当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；$

$ 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，$

$解得k=4，$

$所以k的值为5或4．$

$解：∵AB是直径，BC是切线$

$∴∠ABC=90°$

$∵∠C=25°$

$∴圆心角∠DOB=90°-25°=65°$

$∵∠A是圆周角，∠A与∠DOB所对的是同一条弧BD$

$∴∠A=\frac {∠DOB}2=\frac {65°}2=32.5°$

$证明：(1)连接OE，$

$∵AE平分∠CAB，$

$∴∠CAE=∠EAB，$

$∵AO=EO，$

$∴∠OAE=∠AEO，$

$∴∠CAE=∠OEA，$

$∴AC∥EO，$

$∵∠C=90°，$

$∴∠OEB=90°，$

$∴BC是⊙O的切线.$

$(2)解：∵∠B=30°，∠OEB=90°，$

$∴EO=\frac {1}{2}BO，∠EOB=60°，$

$∵AD=4，$

$∴EO=2，DO=2，$

$∴BO=4，$

$∴BE=2\sqrt {3}，$

$图中阴影部分的面积为：\frac {1}{2}×EO×BE-\frac {60π×2^2}{360}=2\sqrt {3}-\frac {2}{3}π．$