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$解：设∠BOC =n° ,由题可知，OB=OC= 8cm$

$\frac {nπ×8}{180}=\frac 83π$

$解得n= 60$

$∵AC切圆O于点C$

$∴OC⊥AC$

$∴∠A =30°$

$在Rt△AOC中，AO=2OC=16cm$

$∴AB = AO-OB = 8cm$

$(1)证明: ∵四边形ABCD是正方形，$

$∴∠MBA =∠MAB=45°$

$∵BD//EF$

$∴∠DBA =∠BAF$

$∴∠BAF= 45°$

$∴∠CAF= 90°$

$∴CA ⊥ EF$

$∴直线EF与O相切$

$(2 )连接ON$

$∵圆O与BC相切于点N $

$∴ON⊥BC $

$∴∠CNO = 90°$

$∵四边形ABCD是正方形$

$∴∠ABC = 90°$

$∴∠ACB=45°$

$∴CN=ON$

$在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=\sqrt2$

$设圆O的半径为x，则有ON= AO= x,OC=\sqrt2-x$

$在Rt△CON中，x^2+x^2=(\sqrt2-x)^2$

$解得x= 2-\sqrt2$

$答:圆O的半径为2 -\sqrt2$

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