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$16+6 \sqrt{2},$

$解：( 1 ) ∵四边形ABCD为正方形$

$∴∠ABC=∠DCB=90°∴EB，FC为半圆的切线$

$∵EF与半圆相切于点G$

$∴EB=EG，FC=FG.$

$∴C_{四边形AEFD}=AE+EG+FG+FD+AD$

$=( AE+EB ) +( FC+FD ) +AD$

$=AB+CD+AD$

$=3a，$

$即四边形AEFD的周长为3a$

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