解：$(1)$证明$： $∵$∠A C B=90°$
∴$∠A C D+∠B C E=90°，$
而$ A D \perp M N $于$ D， B E \perp M N $于$ E，$
∴$∠A D C=∠C E B=90°，$
$∠B C E+∠C B E=90°，$
∴$∠A C D=∠C B E .$
在$ \triangle A D C $和$ \triangle C E B $中$，$
$\begin {cases}{∠A D C=∠C E B}\\{∠A C D=∠C B E}\\{A C=C B}\end {cases}$
∴$\triangle A D C \cong \triangle C E B，$
∴$A D=C E， D C=B E，$
∴$D E=D C+C E=B E+A D ；$
$(2)$在$ \triangle A D C $和$ \triangle C E B $中$，$
$\begin {cases}{∠A D C=∠C E B=90°}\\{∠A C D=∠C B E}\\{A C=C B}\end {cases}$
∴$\triangle A D C \cong \triangle C E B，$
∴$A D=C E， D C=B E，$
∴$D E=C E-C D=A D-B E$
$(3)D E=B E-A D .$
