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80°

解： $∵E D$ 垂直平分 $C B$

$∴E B=E C, D B=D C$

$∵\triangle A B E$ 的周长为 $10 \mathrm{~cm}$

$∴A B+E B+A E=A B+E C+A E=A B+A C=10 \mathrm{~cm}$

$∵\triangle A B C$ 的周长为 $18 \mathrm{~cm}$

$∴A B+B C+A C=A B+2 D B+A C=18$

$∴10+2 D B=18$

解得 $D B=4(\mathrm{~cm})$

$∴B D$ 的长为 $4 \mathrm{~cm}$

解：连接$AE$

∵$E F $垂直平分$ A B$

∴$B E=A E$

∵$D $是线段$ C E $的中点，$ A D \perp B C$

∴$A C=A E$

∴$B E=A C$

解：$(1)$由点$M$、$N$分别是$O$点关于$PA$、$PB$的对称点，得

$PA$垂直平分$MO$，$PB$垂直平分$NO$，则$ME=EO$，$FN=FO.$

∴$C_{△OEF}=OE+EF+OF=ME+EF+FN=MN=5\ \mathrm {cm}$；

$(2)△PMN$是等腰三角形$.$

理由：如图，连接$PO$，$PM$，$PN.$

由点$M$、$N$分别是$O$点关于$PA$、$PB$的对称点，得

$PM=PO$，$PO=PN$，

∴$PM=PN$，

∴$△PMN$是等腰三角形；

$(3)$由点$M$、$N$分别是$O$点关于$PA$、$PB$的对称点，得

$∠APO=∠APM$，$∠BPO=∠BPN.$

∵$∠APO+∠BPO=∠APB=α$，

∴$∠APM+∠BPN=∠APO+∠BPO=∠APB=α$，

∴$∠MPN=∠MPA+∠APO+∠BPO+∠BPN=α+α=2α.$

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