证明：$(1)$连接$DB$、$DC$，
∵$DG⊥BC$且平分$BC$，
∴$DB=DC.$
∵$AD$为$∠BAC$的平分线，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴$DE=DF.$
∵$∠BED=∠CFD=90°$，
∴$Rt△DBE≌Rt△DCF(\mathrm {HL})$，
∴$BE=CF.$
$(2)$在$Rt△ADE$和$Rt△ADF $中，
$\begin {cases}{AD=AD}\\{DE=DF}\end {cases}$
∴$Rt△ADE≌Rt△ADF(\mathrm {HL})$，
∴$AE=AF.$
∵$AC+CF=AF$，
∴$AE=AC+CF.$
∵$AE=AB- BE$，
∴$AC+CF=AB-BE$，
∵$AB=8$，$AC=4$，
∴$4+BE=8-BE$，
∴$BE=2$，
∴$AE=8-2=6$
