解：$(1)$有$ 5 $个等腰三角形，$ E F=B E+C F=2BE=2CF. $理由如下：
∵$E F / / B C$，
∴$∠E O B=∠O B C$，$ ∠F O C=∠O C B.$
又$ ∠A B C$，$ ∠A C B $的平分线交于点$ O$，
∴$∠E B O=∠O B C$，$ ∠F C O=∠O C B .$
∴$∠E O B=∠O B E$，$ ∠F C O=∠F O C.$
∴$O E=B E$，$ O F=C F .$
∴$E F=O E+O F=B E+C F .$
∵$A B=A C$，
∴$∠A B C=∠A C B .$
∴$∠O B C=∠O C B .$
∴$O B=O C.$
∴$\triangle B E O \cong \triangle C F O .$
∴$B E=C F .$
∴$E F=B E+C F=2\ \mathrm {B} E=2\ \mathrm {C} F.$
$(2) $有$ 2 $个等腰三角形：$ $等腰$ \triangle O B E $和等腰$ \triangle O C F$；
$E F $与$ B E$，$ C F $的关系是：$ E F=B E+C F.$
$(3) $有$ 2 $个等腰$ $三角形：$ \triangle E B O$，$ \triangle O C F$；
$E F $与$ B E$，$ C F $的关系是：$ E F=B E -C F. $理由如下：
∵$E O / / B C$，
∴$∠E O B=∠O B C$，$ ∠E O C= ∠O C D .$
∵$O B$，$ O C $分别是$ ∠A B C $与$ ∠A C D $的平分线，
∴$∠E B O=∠O B C$，$ ∠A C O=∠O C D .$
∴$∠E O B=∠E B O$，$ ∠F C O=∠F O C .$
∴$B E=O E$，$ C F=F O .$
∵$E O=E F+F O$，
∴$E F=B E-C F.$
