解：$(1)$设点$M$，$N$运动$x$秒后，$M$，$N$两点重合，
由题意得$x+12=2x$，
解得$x=12.$
∴点$M$，$N$运动$12$秒后$M$，$N$两点重合$.$
$(2)$设$M$，$N$运动$t $秒后，可得到等边$△ANM.$
则$AM=t\mathrm {cm}$，$AN=AB-BN=(12-2t)\mathrm {cm}.$
∵$△AMN$是等边三角形，
∴$t=12-2t$，解得$t=4$，
∴点$M$，$N$运动$4$秒后，可得到等边$△AMN.$
$(3)$由$(1)$知$12$秒时，即在定点$C$处点$M$，$N$重合，如图所示，
假设$△AMN$是以$MN$为底边的等腰三角形，即$AM=AN$，
∴$∠AMN=∠ANM$，
∴$∠AMC=∠ANB.$
∵$AB=BC=AC$，
∴$△ABC$为等边三角形，
∴$∠C=∠B$，
在$△ACM$和$△ABN$中，
$\begin {cases}{∠C=∠B}\\{∠AMC=∠ANB}\\{AC=AB}\end {cases}$
∴$△ACM≌△ABN$，
∴$CM=BN$，
设点$M$，$N$同时在$BC$上，且运动$y$秒时，$△AMN$是等腰三角形，
∴$CM=y-12$，$NB=36-2y$，
由$CM=NB$得$y-12=36-2y$，解得$y=16$，
故假设成立，
∴点$M$，$N$同时在$BC$上运动时，能得到以$MN$为底的等腰
$△AMN$，此时运动时间为$16$秒$.$
