第155页 - 苏科版八年级（初二）数学学习与评价答案（上下册）

解：$(1)$如图所示

$(2)$相等

∵$PE / /AB$，$PF / /AC$

∴$∠E P D=∠B A D$，$ ∠D P F=∠C A D$

∵$△A B C $中，$ A D $是它的角平分线

∴$∠B A D=∠C A D$

∴$∠EPD=∠DPF$，即$PD$平分$ ∠E P F$

∴$D $到$ PE$的距离与$D$到$PF $的距离相等

$(3) $添加$ A B=A C $，可根据等边对等角得出$ ∠B=∠C $

∵$PE / /AB$，$PF / /AC$

∴$∠PED=∠B$，$∠PFD=∠C$

∴$∠PED=∠PFD$

在$△PED$和$△PFD$中

$\begin {cases}{∠P E D=∠P F D}\\{∠E P D=∠F P D}\\{P D=P D}\end {cases}$

∴$△PED ≌△PFD(\mathrm {AAS})$

解：$(1)$根据题意画出图形，如图所示

$(2)$小明在点$A$处时他与小树的距离大约为$10\ \mathrm {m}$，理由如下.

根据题意可知$∠BAC=∠EDC=90°$，$40\ \mathrm {cm}=0.4\ \mathrm {m}$

则$AC=DC=10×0.4=4(\mathrm {m})$，$DE=(45-10-10)×0.4=10(\mathrm {m})$

∵点$E$、$C$、$B$在一条直线上

∴$∠DCE=∠ACB$

∵$∠BAC=∠EDC=90°$，$AC=DC$，$∠DCE=∠ACB$

∴$△ABC≌△DEC$

∴$AB=DE=10\ \mathrm {m}$

答：小明在点$A$处时他与小树的距离大约为$10\ \mathrm {m}.$

解：$(1)$甲行走的速度：$150÷5=30($米$/$分$)$

$(2)$当$t=35$时，甲行走的路程为：$30×35=1050($米$)$

乙行走的路程为：$(35-5)×50=1500($米$)$

∴当$t=35$时，乙已经到达图书馆

甲距图书馆的路程还有$1500-1050=450($米$)$

∴甲到达图书馆还需时间：$450÷30=15($分$)$

∴$35+15=50($分$)$，即当$s=0$时，横轴上对应的时间为$50$

补画的图象如图所示$($横轴上$D$对应的时间为$50)$

$(3)$设乙出发经过$x$分和甲第一次相遇

根据题意得：$150+30x=50x$

解得$x=7.5$

$7.5+5=12.5($分$)$

由函数图象可知，当$t=12.5$时，$s=0$

∴点$B$的坐标为$(12.5$，$0)$

当$12.5≤t≤35$时，设线段$BC$的表达式为：$s=kt+b(k≠0)$

把$C(35$，$450)$，$B(12.5$，$0)$代入

得$\begin {cases}{12.5k+b=0}\\{35k+b=450}\end {cases} $，解得$\begin {cases}{k=20}\\{b=-250}\end {cases}$

∴$s=20t-250.$

当$s=360$时，$20t-250=360$，解得$t=30.5.$

当$35＜t≤50$时，设线段$CD$的表达式为$y=k_1t+b_1(k_1≠0)$，

把$D(50$，$0)$，$C(35$，$450)$分别代入

得$\begin {cases}{35k_1+b_1=450}\\{50k_1+b_1=0}\end {cases} $，解得$\begin {cases}{k_1=-30}\\{b_1=1500}\end {cases}$

∴$s=-30t+1500$

当$s=360$时，$-30t+1500=360$，解得$t=38$

∴当甲行走$30.5$分钟或$38$分钟时，甲、乙两人相距$360$米$.$