解：$(1)AC//EF $
理由：因为$∠ADB=∠BCE$，
所以$AD//CE.$
所以$∠CAD=∠ACE.$
因为$∠CAD+∠E=180°$，
所以$∠ACE+∠E=180°.$
所以$ AC//EF.$
$(2)$因为$∠ADB=∠BCE$，$ ∠ADB=78°$，
所以$∠BCE=78°.$
因为$CA $平分$∠BCE$，
所以$∠ACE=\frac {1}{2}∠BCE=39°. $
由$(1)$知，$∠CAD=∠ACE$，
所以$∠CAD=39°.$
因为$EF⊥BA$，交$BA $的延长线于点$F$，
所以$∠EFA=90°.$
由$(1)$知，$AC//EF$，
所以$∠BAC=∠EFA=90°.$
所以$∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-39°=51°.$
