$解:如图，$
$过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AC于点N，$
$过点D作DT//AE，交BC于点T.$
$∵AE平分∠BAC,FM⊥AB,FN⊥AC,$
$∴ FM=FN.\ $
$∵ BF :FD=3: 1，$
$∴ S_{△ABF} :S_{△ADF}=3:1.$
$∴AB=3AD.$
$∵D是AC的中点，$
$∴AD=CD.$
$∴AB=\frac{3}{2}\ \mathrm {AC}.\ $
$∵ DT//AE,$
$∴ \frac{AD}{CD}=\frac{ET}{CT}$
$∴ ET=CT.$
$∵DT//AE,即FE//DT,$
$∴ BF : FD=BE : ET=3: 1.$
$∴BE=\frac{3}{2}CE.$
$∴AB+BE=\frac{3}{2}(AC+CE).$
$∵ AB+BE=3\sqrt{3}，$
$∴AC+CE=2\sqrt{3}$
$∴△ABC的周长为AB+AC+BC$
$=(AB+BE)+(AC+CE)$
$=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}$
$=5 \sqrt{3}$
