$解:过点A作AH⊥BC于点H，交GF于点M.$
$∵△ABC的面积是6,BC=4，$
$∴\frac{1}{2}×4AH=6.$
$∴AH=3.$
$∵四边形DEFG是正方形，$
$∴GF=DG,GF//DE,即GF//BC.$
$∴AH⊥GF.$
$∴易得GF=DG=MH.$
$设正方形DEFG的边长为x，则GF=MH=x，AM=3-x，$
$∵ GF//BC,$
$∴ △AGF∽△ABC.$
$∴\frac{GF}{BC}=\frac{AM}{AH}，即\frac{x}{4}=\frac{3-x}{3}，解得x=\frac{12}{7}$
$∴正方形DEFG的边长为\frac{12}{7}$
