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$证明:(1)当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0，$

$解得x_{1}=1,x_{2}=m+3.$

$∴该函数的图像过定点(1,0).$

$∴不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点$

$(2)当x=0时，y=2m+6，即该函数的图像与y轴交点的纵坐标为2m+6.$

$∴当2m+6\gt 0，即m\gt -3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方$

$解:(1)由题意可得:\begin{cases}{4-2b+c=0}\\{c=-2}\end{cases}$

$解得b=1,c=-2$

$∴二次函数的表达式为y=x²+x-2$

$(2)由题意，设P(m，n).$

$∵点P在第二象限，$

$∴m＜0,n＞0.$

$∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，即\frac{S_{△PDB}}{S_{△CDB}}=2，$

$∴\frac{\frac{1}{2}×BD×n}{\frac{1}{2}×BD×CO} =2.$

$∴\frac{n}{CO}=2.$

$由C(0,-2),得CO=2,$

$∴n=2CO=4.$

$∵P(m,4)是二次函数y=x²+x-2的图像上的点，$

$∴m²+m-2=4，$

$解得m_{1}=-3,m_{2}=2(不合题意，舍去).$

$∴点P的坐标为(-3,4)$