$解:(1)∵A(3,\frac{3}{2})是抛物线y=-x²+bx上的一点，$
$∴\frac{3}{2}=-3²+3b，解得b=\frac{7}{2}$
$∴抛物线对应的函数表达式为y=-x²+\frac{7}{2}x$
$(2)∵y=-x²+\frac{7}{2}x=-(x-\frac{7}{4})²+\frac{49}{16},$
$∴抛物线最高点的坐标为(\frac{7}{4},\frac{49}{16})$
$(3)如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是E、D,$
$则易知C、B、D三点共线，∠BDO=∠AEO=90°$
$又∵∠BOD=∠AOE,$
$∴△OBD∽△OAE.$
$∴\frac{OD}{OE}=\frac{BD}{AE}=\frac{OB}{OA}.$
$又∵B是OA的三等分点，$
$∴\frac{OB}{OA}=\frac{1}{3}$
$∴\frac{OD}{OE}=\frac{BD}{AE}=\frac{1}{3}.$
$∵A(3,\frac{3}{2}),$
$∴AE=\frac{3}{2},OE=3.$
$∴BD=\frac{1}{2},OD=1.$
$∴点C的横坐标为1.将x=1代入y=-x²+\frac{7}{2}x，得y=\frac{5}{2}.$
$∴点C的坐标为(1,\frac{5}{2}).$
$∴CD=\frac{5}{2}\ $
$∴CB=CD-BD=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2.$
$∴这棵树的高度是2\ $
