解：$(1)$由$Q=I^2Rt $可知，通过导体的电流：$I=\sqrt {\frac {Q}{Rt}}=\sqrt {\frac {4800\ \mathrm {J}}{20\ \mathrm {Ω}×60\ \mathrm {s}}}=2\ \mathrm {A}$；
$(2)$当通过它的电流增大$1$倍时，通过导体的电流：$I'=2I=2×2\ \mathrm {A}=4\ \mathrm {A}$，
在相同的时间内产生的热量：$Q'=I'^2Rt=(4\ \mathrm {A})^2×20\ \mathrm {Ω}×60\ \mathrm {s}=1.92×10^4\ \mathrm {J}.$
