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$解:(1)∵一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=\frac{k}{x}(k≠0)的图象都经过点A(-1,m)$

$∴m=-1+5=4，即点A的坐标为(-1,4)$

$∴k=-1×4=-4$

$∴反比例函数的解析式为 y=-\frac{4}{x}$

$(2)∵将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移 b(b＞0)个单位长度$

$∴平移后的图象对应的函数解析式为y=x+5-b$

$令x+5-b=-\frac{4}{x},则x^{2}+(5-b)x+4=0$

$∵平移后的图象与反比例函数y=\frac{k}{x}的图象有且只有一个交点$

$∴△=(5-b)^{2}-16=0，解得b=9或b=1$

$∴b的值为9或1$

$解:(1)把x=1代入y=x+2，得y=3,∴点A的坐标为(1,3)$

$又∵点A也在反比例函数y=\frac{k}{x}(k≠0)的图象上，∴k=1×3=3$

$∴ 反比例函数的解析式为y=3$

$联立两函数解得(1,3)或(-3,-1),∴点B的坐标为(-3, -1)$

$(2)∵S_{△BPO}=\frac{1}{2}S_{△ABO},∴P是AB的中点,∴点P的坐标为(-1,1)$

$易得当PM的长取得最小值时，PM⊥OB$

$设直线y=x+2交x轴于点H$

$当y=0时，x=-2，∴H(-2,0)$

$∴S_{△BPO}=S_{△PHO}+S_{△BHO}=2$

$∵B(-3,-1),∴OB= \sqrt{10}$

$∵ 当PM⊥OB时,S_{△BPO}=\frac{1}{2}OB×PM,∴PM=\frac{2\sqrt{10}}{5},即PM长的最小值为\frac{2\sqrt{10}}{5}$