第35页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

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$\frac{\sqrt{5}}{5}或\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$证明:∵ \frac{BD}{BE}=\frac{AD}{CE}=\frac{AB}{CB}，∴△ABD∽△CBE$

$\ ∴ ∠ABD=∠CBE,∴∠ABD+∠CBD=∠CBE+∠CBD,即∠ABC=∠DBE$

$∵\frac{BD}{BE}=\frac{AB}{BC}，即\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}$

$∴△ABC∽△DBE$

$解:(1)在Rt△ABC中，∵∠B=90°,AB=4,BC=2$

$∴由勾股定理，得AC= \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=2\sqrt{5}$

$即正方形ACEF的边长为2\sqrt{5}$

$(2)∵∠B=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°$

$∵四边形ACEF为正方形，∴∠ACE=90°$

$∴∠BCA+∠ECD=90°,∴∠BAC=∠ECD$

$∵易得\frac{AB}{CE}=\frac{AC}{CD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，∴△ABC∽△CED$

$∴\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{CD}=\frac{2\sqrt{5}}{5},∴DE=\sqrt{5}$

$证明:(1)∵AB//CD,∴∠DCA=∠BAC$

$∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC$

$∴∠DCA=∠DAC,{\widehat{DE}}={\widehat{BE}},∴AD= CD$

$∵AE是⊙O的直径，∴ {\widehat{AD}}+{\widehat{DE}}={\widehat{AB}}+{\widehat{BE}}$

$∴ {\widehat{AD}}={\widehat{AB}},∴AD=AB,∴CD=AB$

$∵CD//AB,∴四边形ABCD是平行四边形$

$∵AD=CD,∴四边形ABCD是菱形$

(2)（更多请点击查看作业精灵详解）

$证明:连接BE$

$∵ 四边形ABCD是菱形$

$∴ BC=AB=CD,\ ∠DCE=∠BCE$

$∵ AB^{2}=AC×EC,∴ BC^{2}=AC×EC\ $

$∴\frac{BC}{AC}=\frac{EC}{BC}$

$∵ ∠BCE=∠ACB, ∴ △CBE∽△CAB$

$\ ∴∠CBE=∠CAB$

$在△CDE和△CBE中$

$\begin{cases}{CD=CB\ }\ \\ {\ ∠DCE=∠BCE} \\{ CE=CE} \end{cases}$

$∴ △CDE≌△CBE(SAS)$

$∴ ∠CBE=∠CDE$

$∵ DC//AB, ∴∠F=∠CDE$

$∴∠F=∠CAB,∴AE=EF$