$解:(2) 因为 y=x^2+4 x+3=(x+2)^2-1， $
$所以原抛物线的顶点 C 的坐标为 (-2，-1).$
$因为新抛物线 上的点 D(3，-1) 为原抛物线$
$上点 A(-1，0) 的对应点，$
$且 -1+4=3，0-1=-1，$
$所以新抛物线的顶 点 E 的坐标为 (-2+4，-1-1)， 即 (2，-2)，$
$所以新抛物线的函数表达式为 y=(x-2)^2-2=x^2-4 x+2.$
$在 y=x^2-4 x+2 中， 令 x=0， 得 y=2，$
$所以 G(0，2).$
$因为以 C， E， F， G 四点为顶点的四边形 是平行四边形，$
$所以结合题图可知直线 F G / / 直线 C E.$
$设直线 C E 的函数表达式为 y=k x+t.$
$把点 C(-2，-1)， E(2，-2) 分别代入 y=k x+t， 得$
$\{\begin{array}{l}-2\ \mathrm {k}+t=-1， \\ 2 \mathrm {k}+t=-2，\end{array}.$
$解得 \begin{cases}k=-\dfrac 14\\t=-\dfrac 32\end{cases}$
$所以直线CE的函数表达式为 y=-\frac 14x-\frac 32$
$所以直线FG的函数表达式为 y=-\frac {1}{4} x+2.\ $
$分类讨论如下：$
$①当点 F 在原抛物线上时， 联立方程组 \{\begin{array}{l}y=-\frac {1}{4} x+2， \\ y=x^2+4 x+3，\end{array}.$
$解得 \{\begin{array}{l}x=-4， \\ y=3\end{array}. 或 \{\begin{array}{l}x=-\frac {1}{4}， \\ y=\frac {33}{16}\end{array}. (不合题意，舍去)，$
$所以 F(-4，3)，$
$所以 F G=\sqrt{(-4-0)^2+(3-2)^2}=\sqrt{17}.$
$因为 C E=\sqrt{(-2-2)^2+[-1-(-2)]^2}=\sqrt{17}，$
$所以 F G=C E，$
$所以四边形 C E G F 是平行四边形.$
$②当点F在新抛物线上时，联立方程组 \begin{cases}y=-\dfrac 14x+2\\y=x^2-4x+2\end{cases}$
$解得 \begin{cases}x=\dfrac {15}4\\y=\dfrac {17}{16}\end{cases}或 \begin{cases}x=0\\y=2\end{cases}(不合题意，舍去)$
$所以 F(\frac {15}{4}， \frac {17}{16})，$
$所以 F G=\sqrt{(\frac {15}{4}-0)^2+(\frac {17}{16}-2)^2}=\frac {15 \sqrt{17}}{16}，$
$所以 F G \neq C E， 不合题意， 舍去.$
$综上所述， 点 F 的坐标为 (-4，3).$
