第24页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$解：(1)在 y=\frac {\sqrt{3}}{3} x-\sqrt{3} 中，令 x=0，得 y=-\sqrt{3}，$

$所以 B(0，-\sqrt{3}).$

$令 y=0，得 \frac {\sqrt{3}}{3} x-\sqrt{3}=0，解得 x=3，$

$所以 A(3，0).$

$把点 A(3，0)， B(0，-\sqrt{3}) 分别代入 y=\frac {\sqrt{3}}{3} x^2+b x+c，得$

$\{\begin{array}{l}3 \sqrt{3}+3\ \mathrm {b}+c=0， \\ c=-\sqrt{3}，\end{array}.$

$解得 \{\begin{array}{l}b=-\frac {2 \sqrt{3}}{3}， \\ c=-\sqrt{3}，\end{array}.$

$所以二次函数的表达式为 y=\frac {\sqrt{3}}{3} x^2- \frac {2 \sqrt{3}}{3} x-\sqrt{3}.$（更多请点击查看作业精灵详解）

$解：(1)把点 A(-4，0) 代入 y=\frac {1}{2} x^2-x+c，得$

$\frac {1}{2} \times (-4)^2-(-4)+c=0，解得 c=-12，$

$所以该抛物线的函数表达式为 y=\frac {1}{2} x^2-x-12.$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:(2)因为 y=\frac {\sqrt{3}}{3} x^2-\frac {2 \sqrt{3}}{3} x-\sqrt{3}=\frac {\sqrt{3}}{3}(x-1)^2-\frac {4 \sqrt{3}}{3}，$

$所以该抛物线的对称轴为直线 x=1.$

$因为点 B(0，-\sqrt{3}) 和点 C 关于直线 x=1 对称，$

$所以 C(2，-\sqrt{3}).$

$设 P(1， m )， Q(n，\frac {\sqrt{3}}3n^2-\frac {2\sqrt{3}}3n-\sqrt{3})$

$当以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是菱形时分类讨论如下：$

$①若 B C 为该菱形的对角线，则 \{\begin{array}{l}1+n=0+2， \\ m+\frac {\sqrt{3}}{3}\ \mathrm {n}^2-\frac {2 \sqrt{3}}{3}\ \mathrm {n}-\sqrt{3}=-\sqrt{3}-\sqrt{3}，\end{array}.$

$解得 \{\begin{array}{l}m=-\frac {2 \sqrt{3}}{3}， \\ n=1，\end{array}.$

$则 P(1，-\frac {2 \sqrt{3}}{3})， Q(1，-\frac {4 \sqrt{3}}{3})，$

$所以 B P^2=(0-1)^2+[-\sqrt{3}-(-\frac {2 \sqrt{3}}{3})]^2=\frac {4}{3}， B Q^2=(0-1)^2+[-\sqrt{3}-(-\frac {4 \sqrt{3}}{3})]^2=\frac {4}{3}，$

$所以 B P=B Q，$

$所以四边形 B Q C P 是菱形.$

$②若 B P 为该菱形的对角线，则 \{\begin{array}{l}2+n=0+1， \\ -\sqrt{3}+\frac {\sqrt{3}}{3}\ \mathrm {n}^2-\frac {2 \sqrt{3}}{3}\ \mathrm {n}-\sqrt{3}=-\sqrt{3}+m，\end{array}.$

$解得 \{\begin{array}{l}m=0， \\ n=-1，\end{array}.$

$则 P(1，0)， Q(-1，0)，$

$所以 B Q^2=[0-(-1)]^2+(-\sqrt{3}-0)^2=4$

$因为 B C^2=(0-2)^2+[-\sqrt{3}-(-\sqrt{3})]^2=4$

$所以四边形 B Q P C 是菱形.$

$③若 B Q 为该菱形的对角线，则 \{\begin{array}{l}2+1=0+n， \\ -\sqrt{3}+m=-\sqrt{3}+\frac {\sqrt{3}}{3}\ \mathrm {n}^2-\frac {2 \sqrt{3}}{3}\ \mathrm {n}-\sqrt{3}，\end{array}.$

$解得 \{\begin{array}{l}m=0， \\ n=3，\end{array}.$

$则 P(1，0)， Q(3，0)，$

$所以 B P^2=(0-1)^2+(-\sqrt{3}-0)^2=4，$

$所以 B P=B C，$

$所以四边形 B C Q P 是菱形.$

$综上所述，存在满足题意的点 Q，且点 Q 的坐标为 (1，-\frac {4 \sqrt{3}}{3}) 或 (-1，0) 或 (3，0).$

$解:(2) 过点 M 作 M C \perp x 轴于点 C.$

$因为 y=\frac {1}{2} x^2-x-12=\frac {1}{2}(x-1)^2-\frac {25}{2}，$

$所以该抛物线的顶点 M 的坐标为 (1，-\frac {25}{2})，$

$所以 M C=\frac {25}{2}.$

$因为点 A 的坐标为 (-4，0)，$

$所以由抛物线的对称性可知点 B 的坐标为 (6，0)，$

$所以 O B=6.$

$因为 O A=4，$

$所以 A B=O A+O B=10，$

$所以 S_{\triangle A B M}=\frac {1}{2}\ \mathrm {A}\ \mathrm {B} \cdot M C=\frac {125}{2}.$

$因为点 M^{\prime} 与点 M 关于 x 轴对称，$

$所以 S_{四边形 A M B M^{\prime}}=2\ \mathrm {S}_{\triangle A B M}=125.$

$故四边形 A M B M^{\prime} 的面积为 125 .$

$解:(3) 因为点 M 与点 M^{\prime} 关于直线 A B 对称，$

$所以若四边形 A M B M^{\prime} 为正方形，则 \triangle A B M 为等腰直角三角形.$

$过点 M 作 M N \perp x 轴于点 N，$

$则 M N=N B=\frac {1}{2}\ \mathrm {A}\ \mathrm {B}.$

$因为抛物线 y=\frac {1}{2} x^2-x+c 的对称轴为直线 x=1， M 为该抛物线的顶点，$

$所以 N(1，0)，$

$所以 O N=1.$

$设 B(m， 0)，则 O B=m，$

$所以 M N=NB=O B-O N=m-1，$

$所以 M(1，1-m).$

$因为抛物线 y=\frac {1}{2} x^2-x+c 经过点 M 和点 B，$

$所以 \{\begin{array}{l}\frac {1}{2}-1+c=1-m \\ \frac {1}{2}\ \mathrm {\ \mathrm {m^2}}-m+c=0\end{array}.$

$解得 \{\begin{array}{l}m=1， \\ c=\frac {1}{2}\end{array}. 或 \{\begin{array}{l}m=3，\\ c=-\frac {3}{2} .\end{array}.$

$当 c=\frac {1}{2} 时， y=\frac {1}{2} x^2-x+\frac {1}{2}=\frac {1}{2}(x-1)^2，\ $

$不合题意，舍去；$

$当 c=-\frac {3}{2} 时， y=\frac {1}{2} x^2-x-\frac {3}{2}，\ $

$此时 A(-1， 0)， B(3，0)， M(1，-2)，$

$\ M^{\prime}(1，2)，符合题意.$

$综上所述，存在满足题意的抛物线，且该抛物线的函数表达式为 y=\frac {1}{2} x^2-x-\frac {3}{2}.$