$解：(1) 因为多边形 A B C D E F ∽多边形 A_1\ \mathrm {B}_1\ \mathrm {C}_1\ \mathrm {D}_1\ \mathrm {E}_1\ \mathrm {F}_1，$
$所以 \angle D=\angle D_1=135^{\circ}， \angle E=\angle E_1=120^{\circ}， \angle C=\angle C_1=95^{\circ}.$
$因为六边形的内角和为 180^{\circ} \times(6-2)=720^{\circ}， \angle A=135^{\circ}， \angle B=120^{\circ}，$
$所以 \angle F=720^{\circ}-135^{\circ} \times 2-120^{\circ} \times 2-95^{\circ}=115^{\circ}.$
$(2) 因为多边形 A B C D E F ∽多边形 A_1\ \mathrm {B}_1\ \mathrm {C}_1\ \mathrm {D}_1\ \mathrm {E}_1\ \mathrm {F}_1， 且相似比是 1： 1.5，$
$所以 C D： C_1\ \mathrm {D}_1=1： 1.5.$
$因为 C D=15\ \mathrm {cm}，$
$所以 C_1\ \mathrm {D}_1=22.5\ \mathrm {cm}.$
