第66页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

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$解：(1)证明：因为 E F \| B C，$

$所以 \triangle A E F ∽ \triangle A B C，$

$所以 \frac {A E}{A B}=\frac {A F}{A C}，$

$所以 \frac {S_{\triangle A E F}}{S_{\triangle A B C}}=(\frac {A E}{A B})^2=\frac {A E}{A B} \cdot \frac {A F}{A C}=\frac {A E \cdot A F}{A B \cdot A C}$

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$解：(1)直线EA与圆O相切.理由如下：$

$连接OA.$

$因为DA×AC=DC×AB，$

$所以\frac {AB}{DA}=\frac {AC}{DC}$

$因为BC是圆O的直径，$

$所以∠BAC=90°.$

$因为EA⊥DC，$

$所以∠ADC=90° ，$

$所以∠BAC=∠ADC，$

$所以△ABC∽△DAC，$

$所以∠ABC=∠DAC.$

$因为OA =OB，$

$所以∠OAB=∠ABC，$

$所以∠OAB=∠DAC，$

$所以∠OAC+∠DAC=∠OAC+∠OAB，$

$所以∠OAD=∠BAC= 90° ，$

$所以EA⊥OA.$

$因为OA是圆O的半径，$

$所以直线EA与圆O相切$

$解:(2)因为EA⊥DC，EA⊥OA，$

$所以OA// DC，$

$所以△OAE∽△CDE，$

$所以 \frac {OA}{DC} = \frac {OE}{CE}$

$设OA=OB=OC=a，则BE=BC=2a，$

$所以OE=OB+BE=3a，$

$CE=BC+BE=4a，$

$所以 \frac {a}{DC}=\frac {3a}{4a} ，$

$所以DC= \frac {4}{3}\ \mathrm {a}.$

$因为△ABC∽△DAC，$

$所以\frac {AC}{DC} = \frac {BC}{AC} ，$

$所以 \frac {AC}{\frac {4}{3}a} = \frac {2a}{AC} ，$

$所以AC= \frac {2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm {a}，$

$所以\frac {BC}{AC} ) =\frac {\sqrt{6}}{2} .$

$所以\frac {S_{△ABC}}{S_{△DAC}}=(\frac {BC}{AC})² = \frac {3}{2} ，$

$因为S_{△ABC}=S_{△ABE}$

$所以\frac {S_{△ABE}}{S_{△DAC}}=\frac {3}{2}，即 \frac {S_{1}}{S_{2}} = \frac {3}{2} ，$

$所以S_{2}= \frac {2}{3}S_{1}.$

$又S_{2}=mS_{1}，$

$所以m= \frac {2}{3} .$

$解:(2) 若 E F 不与 B C 平行， (1) 中的结论仍然成立.$

$理由如下：$

$如图①，过点 F 作 F D \perp A B 于点 D，\ $

$过点 C 作 C H \perp A B 于点 H，\ $

$则 F D / / C H，$

$所以 \triangle A F D \backsim \triangle A C H，$

$所以 \frac {F D}{C H}=\frac {A F}{A C}，$

$所以 \frac {S_{\triangle A E F}}{S_{\triangle A B C}}=\frac {\frac {1}{2}\ \mathrm {A}\ \mathrm {E} \cdot F D}{\frac {1}{2}\ \mathrm {A}\ \mathrm {B} \cdot C H}=\frac {A E \cdot A F}{A B \cdot A C}$

$解:(3) 如图②，连接 A G 并延长交 B C 于点 M.$

$因为 G 为 \triangle A B C 的重心，$

$所以 \frac {A G}{A M}=\frac {2}{3}， B C=2\ \mathrm {B}\ \mathrm {M}=2\ \mathrm {C}\ \mathrm {M}，$

$所以 S_{\triangle A B C}=2\ \mathrm {S}_{\triangle A B M}=2\ \mathrm {S}_{\triangle ACM} .$

$设 \frac {A F}{A C}=a$

$因为 \frac {A E}{A B}=\frac {3}{4}$

$所以 \frac {S_{△AEF}}{S_{△ABC}}=\frac {AE·AF}{AB·AC}=\frac 34a， \frac {S_{\triangle A E G}}{S_{\triangle A B M}}=\frac {A E \cdot A G}{A B \cdot A M}=\frac {1}{2}， \frac {S_{\triangle A F G}}{S_{\triangle A C M}}=\frac {A G \cdot A F}{A M \cdot A C}=\frac {2}{3}\ \mathrm {a}，$

$所以 \frac {S_{\triangle A E F}}{S_{\triangle A B C}}=\frac {S_{\triangle A E G}+S_{\triangle A F G}}{S_{\triangle A B C}}$

$=\frac {S_{\triangle A E G}}{2\ \mathrm {S}_{\triangle A B M}}+\frac {S_{\triangle A F G}}{2\ \mathrm {S}_{\triangle A C M}}=\frac {1}{4}+\frac {1}{3}\ \mathrm {a}，$

$所以 \frac {1}{4}+\frac {1}{3}\ \mathrm {a}=\frac {3}{4}\ \mathrm {a}，$

$解得 a=\frac {3}{5}，$

$所以 \frac {S_{\triangle A E F}}{S_{\triangle A B C}}=\frac {9}{20}.$