第71页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

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$解：(1) 因为 \angle A P C=\angle A P Q+\angle C P Q=\angle A B C+\angle B A P，$

$\ \angle A P Q=\angle A B C，$

$所以 \angle C P Q=\angle B A P.$

$因为 A B=A C，$

$所以 \angle C=\angle B，$

$所以 \triangle C P Q \backsim \triangle B A P，$

$所以 \frac {C Q}{B P}=\frac {P C}{A B}.$

$因为 B C=8， B P=6，$

$所以 P C=B C-B P=2.$

$因为 A B=5，$

$所以 \frac {C Q}{6}=\frac {2}{5}，$

$所以 C Q=\frac {12}{5}.$

$解:(2) 分类讨论如下：$

$①若点 P 在线段 C B 上，\ $

$由 (1)，得 \frac {C Q}{B P}=\frac {P C}{A B}，$

$所以 \frac {y}{x}=\frac {8-x}{5}，$

$所以 y=-\frac {1}{5} x^2+\frac {8}{5} x；$

$②如图，若点 P 在线段 C B 的延长线上，$

$因为 ∠APQ=\angle A P B+\angle C P Q，$

$\angle A B C=\angle A P B+\angle B A P，\ $

$\angle A P Q=\angle A B C，$

$所以 \angle C P Q=\angle B A P.$

$因为 \angle A C B+\angle P C Q=180^{\circ}， \angle A B C+\angle A B P=180^{\circ}，$

$\angle A C B=\angle A B C，$

$所以 \angle P C Q=\angle A B P，$

$所以 \triangle Q C P \backsim \triangle P B A，$

$所以 \frac {C Q}{B P}=\frac {P C}{A B}.$

$因为 B P=x,P C=8+x,A B=5,C Q=y，$

$所以 \frac {y}{x}=\frac {8+x}{5}，$

$所以 y=\frac {1}{5} x^2+\frac {8}{5} x.$

$综上所述，若点 P 在线段 C B 上，$

$则 y 与 x 之间的函数表达式为 y=-\frac {1}{5} x^2+\frac {8}{5} x；$

$若点 P 在线段 C B 的延长线上，$

$则 y 与 x 之间的函数表达式为 y=\frac {1}{5} x^2+\frac {8}{5} x.$

$解:(1) ①证明：因为四边形 A B C D 是矩形，$

$所以 A D / / B C，即 A E / / C F.$

$又 A E=C F，$

$所以四边形 A C F E 是平行四边形，$

$所以 E F / / A C.$

$②因为四边形 A B C D 是矩形，$

$所以 \angle A B C=90^{\circ}，$

$所以 \angle 1+\angle E B F=90^{\circ}， \angle 2+\angle B A C=90^{\circ}.$

$因为 \angle 1=\angle 2，$

$所以 \angle E B F=\angle B A C.$

$因为 E F / / A C，$

$所以 \angle F=\angle 2，$

$所以 \triangle B E F ∽ \triangle A B C，$

$所以 \frac {B E}{A B}=\frac {E F}{B C}，$

$所以 \frac {B E}{E F}=\frac {A B}{B C}=\frac {\sqrt{2}}{2}.$

$解:(2) 如图，作矩形 P E F Q，且点 H 在边 P Q 上，\ $

$连接 E G，则$

$\angle P=\angle Q=\angle F=90^{\circ}， P E=Q F， P Q=E F=10.$

$在 \triangle E H G 和 \triangle E F G 中，$

$\{\begin{array}{l}E H=E F \\ E G=E G， \\ H G=F G\end{array}.$

$所以 \triangle E H G ≌ \triangle E F G，$

$所以 \angle E H G=\angle F=90^{\circ}，$

$所以 ∠QHG+∠EHP=180°-∠EHG=90°$

$因为 ∠PEH+∠EHP=90°$

$所以 ∠PEH=∠QHG$

$所以 △EPH∽△HQG$

$所以 \frac {PH}{QG}=\frac {PE}{QH}=\frac {EH}{HG}$

$因为 E H=10， H G=5，$

$所以 \frac {P H}{Q G}=\frac {P E}{Q H}=2.$

$设 Q G=x，则 P H=2 x，$

$所以 Q H=P Q-P H=10-2 x，$

$所以 P E=20-4 x.$

$因为 F G=5，$

$所以 Q F=Q G+F G=x+5，$

$所以 20-4 x=x+5，解得 x=3，$

$所以 Q F=8.$

$过点 H 作 H D \perp E F 于点 D，则 \angle H D N=90^{\circ}，$

$所以 \angle H D N=\angle F，四边形 H D F Q 是矩形，$

$所以 H D=Q F=8.$

$因为 E M \perp H N，$

$所以 \angle H N D+\angle M E F=90^{\circ}.$

$又 \angle E M F+\angle M E F=90^{\circ}，$

$所以 \angle H N D=\angle E M F，$

$所以 \triangle H D N ∽ \triangle E F M，$

$所以 \frac {H N}{E M}=\frac {H D}{E F}=\frac {4}{5}.$