$(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形$
$∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D$
$∵AF=CE$
$∴AD-AF=BC-CE$
$∴DF=BE$
$在△ABE和△CDF中，$
$\begin{cases}{AB=CD，}\\{∠B=∠D，}\\{BE=DF}\end{cases}$
$∴△ABE≌△CDF$
$(2)解：当E是BC的中点时，四边形ABEF是平行四边形\ $
$∵E是BC的中点，$
$∴BE=EC.$
$又∵AF=EC，$
$∴BE=AF.$
$∵BE//AF,$
$∴四边形ABEF是平行四边形$
