$证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，$
$∴AD=BC，AD//BC，即DE//BF.$
$∵E、F分别为边AD、BC的中点，$
$∴DE=\frac{1}{2}AD，BF=\frac{1}{2}BC.$
$∴DE=BF.$
$∴四边形BFDE为平行四边形$
$(2)由(1)，得AD=BC，AD//BC，四边形BFDE为平行四边形，$
$∴ ∠EAG=∠FCH，∠AEF=∠CFE，BE//DF.$
$∴∠BEF=∠DFE.$
$∴∠AEF-∠BEF=∠CFE-∠DFE，即∠AEG=∠CFH.\ $
$∵ E、F分别为边AD、BC的中点，$
$∴AE=\frac{1}{2}AD，CF=\frac{1}{2}BC.$
$∴AE=CF.$
$在△AEG和△CFH中，$
$\begin{cases}{∠EAG=∠FCH,\ }\\{\ AE=CF,}\\{∠AEG=∠CFH，\ }\end{cases}$
$∴△AEG≌△CFH.$
$∴AG=CH\ $
