$(1)证明：∵AD//BC，$
$∴∠DMO=∠BNO.$
$∵MN是对角线BD的垂直平分线，$
$∴ OD=OB，MN⊥BD.$
$在△MOD和△NOB中，$
${{\begin{cases} {{∠DMO=∠BNO，}} \\ {∠MOD=∠NOB，} \\ {OD=OB，} \end{cases}}}$
$∴△MOD≌△NOB.$
$∴OM=OD=OB，$
$∵OD=OB，$
$∴四边形BNDM是平行四边形.$
$∵MN⊥BD，$
$∴四边形BNDM是菱形$
$(2)解：∵四边形BNDM是菱形，BD=24，MN=10，$
$∴BM=BN=DM=DN，OB=\frac{1}{2}BD=12，OM=\frac{1}{2}\ \mathrm {MN}=5.$
$∵ MN⊥BD，$
$∴ ∠BOM=90°.$
$在Rt△BOM 中，由勾股定理，得\ $
$BM= \sqrt{OM^2+OB^2} =\sqrt{5^2+12^2}=13.$
$∴菱形BNDM的周长=4BM=4×13=52 $
