$(1)证明：∵四边形ABCD是正方形$
$∴∠ADC=90°$
$∵GE⊥CD$
$∴∠GEC=90°$
$∴∠ADC=∠GEC$
$∴AD//GE$
$∴∠DAG=∠EGH$
$(2)AH⊥EF，理由：如图，连接GC，交EF于点O$
$∵在正方形ABCD中，BD是对角线$
$∴∠BCD=90°，∠ADG=∠CDG，AD=CD$
$∵DG=DG$
$∴△ADG≌△CDG$
$∴∠DAG=∠DCG$
$∵GE⊥CD，GF⊥BC$
$∴∠GFC=∠GEC=90°=∠BCD$
$∴四边形FCEG为矩形$
$∴GC=EF，OE=\frac{1}{2}EF，OC=\frac{1}{2}GC$
$∴OE=OC$
$∴∠OEC=∠OCE$
$∴∠DAG=∠OEC$
$由(1)，得∠DAG=∠EGH$
$∴∠EGH=∠OEC$
$∵∠GEC=∠OEC+∠GEH=90°$
$∴∠EGH+∠GEH=90°$
$∴∠GHE=90°$
$∴AH⊥EF$
