$证明：(1)如图，设EC交DF于点K$
$∵四边形ABCD是正方形$
$∴AB=BC=CD，∠B=∠DCF=90°$
$∵点E、F分别是AB、BC的中点$
$∴BE=\frac 12AB，CF=\frac 12BC，即BE=CF$
$∴△BCE≌△CDF(SAS)$
$∴∠BCE=∠CDF$
$又∵∠BCE+∠ECD=90°$
$∴∠CDF+∠ECD=90°$
$∴在△CKD中，∠CKD=90°$
$∴CE⊥DF$
$(2)设正方形ABCD的边长为2a，HC=x(x\gt a\gt 0)$
$∵四边形ABCD是正方形$
$∴AB//CD，BC=AB=2a，∠B=90°$
$∴∠BEC=∠HCE$
$∵△CBE沿CE翻折得到△CGE，E为AB的中点$
$∴CG=BC=2a，EG=BE=\frac 12AB=a，∠BEC=∠CEG，∠EGC=∠B=90°$
$∴∠HGC=180°-∠EGC=90°，∠HCE=∠CEG$
$∴EH=HC=x$
$∴HG=EH-EG=x-a$
$在Rt△CGH中，由勾股定理可得，CG^2+HG^2=HC^2，即(2a)^2+(x-a)^2=x^2$
$解得x=\frac 52a$
$∴HG=\frac 52a-a=\frac 32a$
$∴\frac {HG}{HC}=\frac {\frac 32a}{\frac 52a}=\frac 35$
