$解:(1)过点A作AE⊥x轴于点E.$ $因为∠COD= 90°,$ $所以tan∠ACO=\frac{OD}{OC}=\frac{3}{4},$ $因为OC=4,$ $所以C(4，0),OD=3，$ $所以D(0,3).$ $把点C(4，0), D(0,3)分别代入y=kx+b，$ $得\begin{cases}{4k+b=0\ } \\ {b=3} \end{cases}$ $解得\ k=-\frac{3}{4},b=3$ $所以一次函数的表达式为y=-\frac{3}{4}x+3.$ $设A(a,-\frac{3}{4}a+3),$ $则AE=-\frac{3}{4}a+3,$ $所以S_{△OAC}=\frac{1}{2}×OC×AE$ $=-\frac{3}{2}a+6.$ $又S_{△OAC}=2,$ $所以-\frac{3}{2}a+6=2，$ $解得a=\frac{8}{3}，$ $则-\frac{3}{4}a+3=1,$ $所以点A的坐标为(\frac{8}{3},1).$ $把点A(\frac{8}{3},1)代入y=\frac{m}{x}，得m=\frac{8}{3}，$ $所以反比例函数的表达式为y=\frac{8}{3x}(x＞0).$
$解:(2)联立方程组 \begin{cases}{y=-\frac{3}{4}x+3\ } \\ {y=\frac{8}{3x}} \end{cases}$ $解得x=\frac{4}{3},y=2或x=\frac{8}{3},y=1$ $所以B(\frac{4}{3},2).$ $因为M是y轴上一点，$ $所以当△BDM与△CDO相似时，点M在点D下方，$ $所以∠BDM=∠CDO.分类讨论如下:$ $①若△BDM∽△CDO,$ $则∠BMD=∠COD=90°,$ $所以BM∥x轴，$ $所以M(0,2);$ $②若△MDB∽△CDO，$ $则∠MBD=∠COD=90°,∠BMD=∠ACO，$ $所以tan∠BMD=tan∠ACO=\frac{3}{4}.$ $过点B作BF⊥y轴于点F，$ $则∠BFM=90°,BF=\frac{4}{3},OF=2,$ $所以tan∠BMD=\frac{BF}{MF}=\frac{3}{4}，$ $所以MF=\frac{4}{3}BF=\frac{16}{9},$ $所以OM=OF-MF=\frac{2}{9},$ $所以M(0,\frac{2}{9}).$ $综上所述，点M的坐标为(0,2) 或(0,\frac{2}{9}).$
$解:(1)过点A作AD⊥x轴于点D，$ $则∠ODA= 90°,$ $所以tan∠ACO=\frac{AD}{CD}=2.$ $因为A(n，6),$ $所以AD=6，$ $所以CD=3.$ $因为C(-2,0),$ $所以OC=2,$ $所以OD=CD-OC=1，$ $所以A(1,6).$ $把点A(1,6)代入y=\frac{m}{x}，得m=6，$ $所以该反比例函数的表达式为y=\frac{6}{x}.$ $把点A(1,6),C(-2, 0)分别代入y=kx+b，$ $得\begin{cases}{k+b=6\ } \\ {-2k+b=0} \end{cases}$ $解得k=2, b=4$ $所以该一次函数的表达式为y=2x+4.$
$解:(2)联立方程组 \begin{cases}{y=2x+4\ } \\ {y=\frac{6}{x}} \end{cases}$ $解得x=-3,y=-2或x=1,y=6$ $所以点B的坐标为(-3,-2).$
$解:(3)作点B(-3,-2)关于x轴的对称点B',$ $连接AB'并延长，$ $则当E为AB的延长线与x轴的交点时，$ $|AE-BE|取最大值.$ $设直线AB'的函数表达式为y=px+q.$ $把点A(1,6),B'(-3, 2)分别代入y=px+q，$ $得\begin{cases}{p+q=6\ } \\ {-3p+q=2} \end{cases}$ $解得p=1,q=5$ $所以直线AB的函数表达式为y=x+5.$ $在y=x+5中，令y=0，得x+5=0，$ $解得x=-5，$ $所以E(-5，0).$ $故存在满足题意的点E,且点E的坐标为(-5，0).$
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