第123页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

A

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$解：(1)设CD为x千米，$

$∵∠CBD=30°，∠CAD=45°，CD⊥AB，$

$∴AD=CD=x.$

$在Rt△BDC中，tan{30}°=\frac {CD}{ BD}，$

$∴BD=\sqrt{ 3}x.$

$∵AD+BD=AB=40，$

$∴x+\sqrt{ 3}x=40，解得x≈14.6，$

$∴故牧民区到公路的最短距离CD为14.6千米.$

$(2)设汽车在草地上行驶速度为v，$

$则在公路上行驶速度为3v.$

$∵直角三角形ADC中，∠CAD=45°，$

$∴AC=\sqrt{ 2}CD，$

$∴方案1的时间t_1=\frac { AD}{ 3v}+\frac { CD}{ v}=\frac { 4CD}{ 3v}.$

$∵方案2的时间t_2=\frac { AC}{ v}=\frac { \sqrt{ 2}CD}{ v}，$

$∴t_2-t_1=\frac { \sqrt{ 2}CD}{ v}-\frac { 4CD}{ 3v}=\frac { (3\sqrt{ 2}-4)CD}{ 3v}.$

$∵3\sqrt{ 2}-4＞0，$

$∴t_2＞t_1，$

$∴方案1用的时间少，合理.$

$证明：(1)连接OD.$

$因为CD=AC，$

$所以∠A=∠ADC=∠BDE.$

$因为∠AOB=90°，$

$所以∠OBD+∠A=90°。$

$因为OB=OD，$

$所以∠OBD=∠ODB，$

$所以∠ODB+∠BDE=90°，$

$所以∠ODE=90°，$

$所以OD⊥CD.$

$因为OD是⊙O的半径，$

$所以CD是⊙O的切线.$

$解:(2) 因为∠ODE=90°，$

$所以∠ODC=180°-∠ODE=90°，$

$所以s in ∠OCD= \frac {OD}{OC} = \frac {4}{5} .$

$设OD=4x，则OC=5x，$

$所以AC=CD=\sqrt{OC²-OD²} =3x，$

$所以OA=OC+AC=8x。$

$因为OB=OD=4.x，$

$所以AB= \sqrt{OA²+OB²} =4 \sqrt{5} x.$

$因为AB=4\sqrt{5} ，$

$所以4 \sqrt{5} x=4\sqrt{5} ，$

$解得x=1，$

$所以AC=CD=3，OC=5，$

$OB=OD=4。$

$因为∠EOC=∠ODC=90°，$

$∠ECO=∠OCD，$

$所以△EOC∽△ODC，$

$所以 \frac {EC}{OC} = \frac {OC}{CD} ，$

$即 \frac {EC}{5}=\frac {5}{3} ，所以EC= \frac {25}{3} ，$

$所以S_{△OCE}= \frac {1}{2}×EC×OD= \frac {50}{3}$

$设OC与圆O交于点F.$

$因为 S_{扇形}OBF=\frac {90π×4²}{360} =4π，$

$所以 S_{涂色}=S_{△OCE}-S_{扇形}OBF= \frac {50-12π}{3} .$

$故AC的长为3，$

$涂色部分的面积为\frac {50-12π}{3}$