$解：(1)把点A(2，0)代入y=ax²+bx+c，$
$得4a+2b+c=0.$
$因为抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=1，$
$所以-\frac {b}{2a} =1，$
$所以2a+b=0.$
$因为关于x的方程ax²+bx+c=x有两个相等的实数根，$
$所以(b-1)²-4ac=0.$
$联立方程组\begin{cases}4a+2b+c=0， \\2a+b=0，\\ (b-1)²-4ac=0， \end{cases}$
$解得a=-\frac {1}{2}，b=1，c=0，$
$所以该抛物线的函数表达式为y=-\frac {1}{2}x²+x。$
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