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$证明:(1)因为\widehat{AD}=\widehat{BD}，$

$所以∠ACD=∠ECB.$

$又 ∠ADC=∠EBC,$

$所以△ACD∽△ECB.$

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$解：(1)点 M_1 的坐标为 (a-7， b-3).$

$(2)点 A_2 的坐标为 (-1，-4).$

$解：(1)设与墙垂直的一边的长为xm，花园的面积为ym².$

$由题意，得y=x(120-3x)=-3x²+120x=-3(x-20)²+1200.$

$因为120-3x\gt 0，$

$所以0\lt x\lt 40。$

$因为-3\lt 0，$

$所以当x=20时，y取最大值1200.$

$故当与墙垂直的一边的长为20m时，花园的面积最大，且最大面积为1200m².$

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$解:(2) 设购买a株牡丹，$

$则购买(2×1200-a)株芍药$

$由题意，得25a+15(2×1200-a)≤50 000，$

$解得a≤1 400.$

$故最多可以购买1400株牡丹.$

$解:(2)如图，过点B作BH⊥CD于点H.$

$因为AB是⊙O的直径，\\ $

$所以∠ACB=∠ADB=90°,$

$在Rt△ACB中,$

$AB= \sqrt{BC²+AC²}= \sqrt{1²+3²}=\sqrt{10}$

$因为∠ACD=∠BCD=45°,$

$所以∠ABD=∠BAD=45°,$

$所以△ABD为等腰直角三角形.$

$设BD=AD=x，$

$则x²+x²=( \sqrt{10})²,$

$解得x=\sqrt{5},\\ $

$所以BD=\sqrt{5}$

$在Rt△BCH中，因为∠BCH=45°，$

$\ 所以△BCH为等腰直角三角形，$

$同理可得CH=BH=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$在 Rt△BDH 中,DH= \sqrt{BD²-BH²}$

$=\sqrt{(\sqrt{5})²－(\frac {\sqrt{2}}{2})²}$

$=\frac{3\sqrt{2}}{2} ，$

$所以CD=CH+DH=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\\ $

$因为△ACD∽△ECB,\\ $

$所以CA:CE=CD:CB，$

$即3:CE=2\sqrt{2}:1，$

$解得CE=\frac{3\sqrt{2}}{4},\\ $

$即CE的长为\frac{3\sqrt{2}}{4}\ $

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