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$解：(1) 由题意，得$

$\begin{cases}a+b+4=0\\-\dfrac {b}{2a} = \dfrac {5}{2} ， \end{cases}$

$解得a=1，b=-5，$

$所以该抛物线的函数表达式为y=x²-5x+4.$

$(2)在y=x²-5x+4中，令x=0，得y=4，$

$所以C(0，4)；$

$令y=0，得x²-5x+4=0，$

$解得x_{1}=1，x_{2}=4，$

$所以B(4，0)$

$设直线BC的函数表达式为y=px+q.$

$把点B(4，0)，C(0，4)分别代入y=px+q，得$

$\begin{cases}4p+q=0， \\q=4， \end{cases}$

$解得p=-1，q=4，$

$所以直线BC的函数表达式为y=-x+4.$

$设Q(m，m²-5m+4)(0\lt m\lt 4).$

$过点Q作QP//y轴，交BC于点P，$

$则P(m，-m+4)，$

$所以QP=-m+4-(m²-5m+4)=-m²+4m$

$所以S_{△BCQ}= \frac {1}{2}×QP×OB=-2m²+8m=-2(m-2)²+8.$

$当 m=2时，S_{△BCQ}取最大值，此时点Q的坐标为(2，-2).$

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$解:(3) 因为C(0，4)，D是OC 的中点，$

$所以D(0，2).$

$因为QP//y轴，$

$所以∠ODQ=∠PQD.$

$因为∠DQE=2∠ODQ，$

$所以∠DQE=2∠PQD，$

$所以QP{平分}∠DQE.$

$作点D关于直线QP的对称点D'，$

$则点D'在直线QE上.$

$因为Q(2，-2)，$

$所以D'(4，2).$

$设直线 QE的函数表达式为y=cx+d.$

$把点Q(2，-2)，D'(4，2)分别代入y=cx+d.$

$\begin{cases}2c+d=-2， \\4c+d=2 .\end{cases}$

$解得c=2，d=-6$

$所以直线QE的函数表达式为y=2x-6$

$联立方程组 \begin{cases}y=2x-6，\\y=x²-5x+4 \end{cases}$

$解得x_1=2， x_2=5，$

$所以点E的坐标为(5，4)$

$设F(0，t).$

$因为B(4，0)，$

$所以BE²=(5-4)²+4²=17，BF²=t²+16，EF²=(-5)²+(t-4)²=t²-8t+41.$

$当△BEF为等腰三角形时，分类讨论如下：$

$①若BF=BE，则BF²=BE²，$

$所以t²+16=17，解得t_1=1，t_2=-1，$

$所以点F的坐标为(0，1)或(0，-1)；$

$②若EF=BE，则EF²=BE²，$

$所以t²-8t+41=17，$

$该方程无解；$

$③若BF=EF，则BF²=EF²，$

$所以t²+16=t²-8t+41，$

$解得t= \frac {25}{8} ，$

$所以点F的坐标为(0. \frac {25}{8} ).$

$综上所述，在y轴上存在点F，使△BEF为等腰$

$三角形，且点F的坐标为(0，1)或(0，-1)或$

$(0，\frac {25}{8} ).$