$解：(1) 由题意，得$
$\begin{cases}a+b+4=0\\-\dfrac {b}{2a} = \dfrac {5}{2} ， \end{cases}$
$解得a=1，b=-5，$
$所以该抛物线的函数表达式为y=x²-5x+4.$
$(2)在y=x²-5x+4中，令x=0，得y=4，$
$所以C(0，4)；$
$令y=0，得x²-5x+4=0，$
$解得x_{1}=1，x_{2}=4，$
$所以B(4，0)$
$设直线BC的函数表达式为y=px+q.$
$把点B(4，0)，C(0，4)分别代入y=px+q，得$
$\begin{cases}4p+q=0， \\q=4， \end{cases}$
$解得p=-1，q=4，$
$所以直线BC的函数表达式为y=-x+4.$
$设Q(m，m²-5m+4)(0\lt m\lt 4).$
$过点Q作QP//y轴，交BC于点P，$
$则P(m，-m+4)，$
$所以QP=-m+4-(m²-5m+4)=-m²+4m$
$所以S_{△BCQ}= \frac {1}{2}×QP×OB=-2m²+8m=-2(m-2)²+8.$
$当 m=2时，S_{△BCQ}取最大值，此时点Q的坐标为(2，-2).$
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