第13页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

C

$\sqrt{15}$

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$解：(1) △AOB是直角三角形.理由如下：$

$因为A(5，0)，$

$所以OA=5，$

$所以OA²=25.$

$因为AB=4，OB=3，$

$所以AB²+OB²=25，$

$所以AB²+OB²=OA²，$

$所以△AOB是直角三角形$

$解:(2) 如图，过点B作BE⊥x轴于点E，$

$则∠BEA=90°.$

$因为 S_{△OAB}= \frac {1}{2}×OA×BE= \frac {1}{2}×OB×AB，$

$OA=5，AB=4，OB=3$

$所以BE= \frac {3×4}{5} = \frac {12}{5} ，$

$所以AE= \sqrt{AB²-BE²} = \frac {16}{5} .$

$设PA=x，$

$则PE=AE-PA= \frac {16}{5} -x.$

$因为PB-PA=1，$

$所以PB=x+1.$

$因为PE²+BE²=PB²，$

$所以(\frac {16}{5}-x)²+( \frac {12}{5} )² =(x+1)²，$

$解得x= \frac {25}{14} ，$

$所以PA= \frac {25}{14} ，$

$所以OP=OA-PA= \frac {45}{14} ，$

$所以点P的坐标为( \frac {45}{14}，0) .$

$解:(3)如图，过点O作OH⊥OC，且HO=OB，$

$过点H作HF⊥x轴于点F，$

$连接AH，CH，$

$则∠COH=∠AFH=90°。$

$因为∠DBO=90°，$

$所以∠COH=∠DBO.$

$在△COH和△DBO中，$

$\begin{cases}OC=BD，\\∠COH=∠DBO，\\HO=OB，\end{cases}$

$所以△COH≌△DBO，$

$所以HC=OD，$

$所以AC+OD=AC+HC≥AH，$

$即AC+OD的最小值即为AH的长.$

$因为BE⊥x轴，$

$所以∠BEO=90°，$

$所以∠OFH=∠BEO.$

$因为OB=3，BE= \frac {12}{5} ，$

$所以OE=\sqrt{OB²-BE²}=\frac {9}{5} .$

$因为∠FOH+∠OHF=90°，∠FOH+∠BOE=180°-∠COH=90°，$

$所以∠OHF=∠BOE.$

$在△OHF 和△BOE中，$

$\begin{cases}∠OFH=∠BEO，\\∠OHF=∠BOE，\\HO=OB，\end{cases}$

$所以△OHF≌△BOE，$

$所以OF=BE= \frac {12}{5} ，HF=OE= \frac {9}{5} ，$

$所以AF=OA+OF= \frac {37}{5} ，$

$所以AH=\sqrt{AF²+HF_{2}} = \sqrt{58} .$

$故AC+OD的最小值为 \sqrt{58} .$