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$解：(2) 存在.在y=-x²+2x+3中，$

$令x=0，得y=3，$

$所以C(0，3)；$

$令y=0，得-x²+2x+3=0，$

$解得x_1=-1，x_2=3，$

$所以B(3，0)。$

$因为D为OC的中点，$

$所以D(0，\frac {3}{2} ).$

$设直线BC的函数表达式为 y =k_{1}x +b_{1}，$

$\begin{cases}3k_{1}+b_{1}=0\\b_1=3\end{cases}$

$解得k_{1}=-1，b_{1}=3$

$所以直线BC 的函数表达式为y=-x+3.$

$设直线BD的函数表达式为y=k_{2}x+b_{2}$

$\begin{cases}3k_{2}+b_{2}=0， \\b_{2}=\dfrac {3}{2}，\end{cases}$

$解得k_{2}=-\frac {1}{2}，b_{2}=\frac {3}{2}$

$所以直线BD的函数表达式为y=-\frac {1}{2} x+\frac {3}{2}$

$设P(m，-m²+2m+3)(0\lt m\lt 3)，$

$则 M(m，-m+3)，N(m，-\frac {1}{2}m+\frac {3}{2} )，H(m，0)，$

$所以 PM=-m²+2m+3-(-m+3)=-m²+3m，$

$MN=-m+3- (-\frac {1}{2}\ \mathrm {m}+\frac {3}{2} )=- \frac {1}{2}\ \mathrm {m}+ \frac {3}{2} ，$

$NH= -\frac {1}{2}\ \mathrm {m}+\frac {3}{2} .$

$因为PM=MN=NH，$

$所以-m²+3m=- \frac {1}{2}\ \mathrm {m}+\frac {3}{2} ，$

$解得m_{1}= \frac {1}{2} ，m_{2}=3(不合题意，舍去)，$

$则-m²+2m+3= \frac {15}{4} ，$

$所以P( \frac {1}{2} ， \frac {15}{4} ).$

$故存在满足题意的点P，且点P的坐标为( \frac {1}{2}, \frac {15}{4} ).$（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:(3) 过点P作PF⊥x轴于点F，交BD于点E.$

$因为B(3，0)，D(0， \frac {3}{2} )，$

$所以OB=3，OD= \frac {3}{2} ，$

$所以BD= \sqrt{OB²+OD} = \frac {3\sqrt{5}}{2} ，$

$所以 cos ∠OBD=\frac {OB}{BD} = \frac {2\sqrt{5}}{5} .$

$因为PQ⊥BD，$

$所以∠PRF+∠OBD=90°.$

$又∠PRF+∠EPQ=90°，$

$所以∠ EPQ =∠OBD，$

$所以 cos ∠ EPQ = cos ∠OBD.$

$又 cos ∠ EPQ = \frac {PQ}{PE} = \frac {PF}{PR} ，$

$所以 \frac {PQ}{PE} = \frac {PF}{PR}=\frac {2\sqrt{5}}{5} ，$

$所以PQ= \frac {2\sqrt{5}}{5}\ \mathrm {PE}，PR= \frac {\sqrt{5}}{2}\ \mathrm {PF}.$

$因为S_{△PQB}=2S_{△QRB}，$

$所以PQ=2QR.$

$设直线BD与抛物线的另一个交点为G.$

$令-x²+2x+3=-\frac {1}{2} x+\frac {3}{2} ，$

$解得x_{1}=3，x_{2}= \frac {1}{2} ，$

$所以点G的横坐标为-\frac {1}{2}$

$设P(t，-t²+2t+3)(t\lt 3)，$

$则E(t，-\frac {1}{2}t+\frac {3}{2} )，F(t，0)，$

$所以PE=|-t²+2t+3-(- \frac {1}{2}\ \mathrm {t}+ \frac {3}{2} )|$

$=|-t²+ \frac {5}{2}\ \mathrm {t}+\frac {3}{2} |.$

$分类讨论如下：①若- \frac {1}{2} \lt t\lt 3，$

$则点P在直线BD上方，$

$所以PF=-t²+2t+3，PE=-t²+ \frac {5}{2}\ \mathrm {t}+ \frac {3}{2} .$

$因为PQ=2QR，$

$所以PQ=\frac {2}{3}\ \mathrm {PR}.$

$所以 \frac {2\sqrt{5}}{5}\ \mathrm {PE}= \frac {2}{3}×\frac {\sqrt{5}}{2}\ \mathrm {PF}，$

$所以PE=\frac {5}{6}\ \mathrm {PF}，$

$即-t²+ \frac {5}{2}\ \mathrm {t}+\frac {3}{2} = \frac {5}{6} (-t²+2t+3)，$

$解得t=2(t=3不合题意，舍去)，$

$则-t²+2t+3=3，$

$所以P(2，3)；$

$②若-1＜t＜-\frac {1}{2}$

$则点P在x轴上方，且在直线BD下方，\ $

$此时S_{△PQB}=2S_{△QRB}不成立；\ $

$③若t\lt -1，则点P在x轴下方，\ $

$所以PF=t²-2t-3，PE=t²- \frac {5}{2}\ \mathrm {t}-\frac {3}{2} .\ $

$因为PQ=2QR，\ $

$所以PQ=2PR，\ $

$所以 \frac {2\sqrt{5}}{5}\ \mathrm {PE}=2×\frac {2\sqrt{5}}{2}\ \mathrm {PF}，\ $

$所以PE= \frac {5}{2}\ \mathrm {PF}，\ $

$所以t²- \frac {5}{2}\ \mathrm {t}-\frac {3}{2} = \frac {5}{2} (t²-2t-3)，\ $

$解得t=- \frac {4}{3} (t=3 不合题意，舍去)，\ $

$则-t²+2t+3=- \frac {13}{9} ，$

$所以P(-\frac {4}{3} ， -\frac {13}{9} )。$

$综上所述，点P的坐标为(2，3)或(-\frac {4}{3} ,-\frac {13}{9} ).$