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A

-3

$\frac{8\sqrt{5}}{5} $

$证明：(1) 因为OA=OC，$

$所以∠OCA=∠OAC.$

$因为AE//CD，$

$所以∠OCA=∠PAC，$

$所以∠OAC=∠PAC，$

$所以AC平分∠BAP.$

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$证明:(2) 连接CE，AD.$

$因为CD为⊙O的直径，$

$所以∠CAD=90°，$

$所以∠DCA+∠D=90°。$

$因为PC与⊙O相切于点C，$

$所以OC⊥PC，$

$所以∠PCO=90°，$

$所以∠PCA+∠DCA=90°，$

$所以∠PCA=∠D=∠E.$

$又∠APC=∠CPE，$

$所以△PAC∽△PCE，$

$所以 \frac {PA}{PC} = \frac {PC}{PE} ，$

$所以 PC²=PA×PE.$

$解:(3) 连接BC.设PA=x.$

$因为AE-PA=PC=4，$

$所以AE=x+4，$

$所以PE=PA+AE=2x+4.$

$因为PC²=PA.PE，$

$所以16=x(2x+4)，$

$解得x=2(负值舍去)，$

$所以 PA=2.$

$因为PC⊥CD，CD//PE，$

$所以PC⊥PE，$

$所以∠APC=90°，$

$所以AC= \sqrt{PA²+PC²} =2 \sqrt{5} .$

$因为AB是圆O的直径，$

$所以∠ACB=90°，$

$所以∠APC=∠ACB.$

$又∠PAC=∠CAB，$

$所以△PAC∽△CAB，$

$所以\frac {PA}{AC}=\frac {AC}{AB}$

$所以\frac {2}{2\sqrt{5}}=\frac {2\sqrt{5}}{AB}$

$所以AB=10，$

$所以⊙O的半径是 \frac {1}{2} ×10=5.$

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