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$解：(1)将点A(1，0)，B(3，0)分别代入y=ax²+bx+3.得$

$\begin{cases}a+b+3=0，\\9a+3b+3=0， \end{cases}$

$解得a=1，b=-4，$

$所以抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3.$

$又y=x²-4x+3=(x-2)²-1，$

$所以抛物线的顶点D的坐标是(2，-1).$

$(2)在y=x²-4x+3中，令x=0，得y=3，$

$所以C(0，3).$

$设E(m，m²-4m+3)，F(n，0).$

$因为以C，D，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形，$

$所以分类讨论如下：①当CD是所得平行四边形的对角线时，$

$\begin{cases}m+n=2，\\m²-4m+3=3+(-1)，\end{cases}$

$解得m=2+ \sqrt{3}，n=-\sqrt{3} 或 m=2- \sqrt{3} ，n=\sqrt{3}$

$所以E(2± \sqrt{3} ，2)；$

$②当CE是所得平行四边形的对角线时，$

$\begin{cases}m=n+2，\\m²-4m+3+3=-1，\end{cases}$

$该方程无解.$

$③当CF是所得平行四边形的对角线时，$

$\begin{cases}m+2=n，\\m²-4m+3+(-1)=3，\end{cases}$

$解得m=2+\sqrt{5} ，n=4+\sqrt{5}或m=2-\sqrt{5}，n=4-\sqrt{5}$

$所以E(2± \sqrt{5} ，4).$

$综上所述，点 E的坐标是(2±\sqrt{3} ，2)或(2± \sqrt{5} ，4).$（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:(3) 由题意，得新抛物线的顶点坐标是(2，5)，$

$所以新抛物线的函数表达式为y=-(x-2)²+5=-x²+4x+1.$

$设P(x，-x²+4x+1)，$

$则Q(x，- \frac {1}{2} x-1).$

$所以 PQ=-x²+4x+1-(-\frac {1}{2} x-1)$

$=-x²+ \frac {9}{2} x+2.$

$设直线l交x轴于点H，交y轴于点K，$

$则K(0，-1)H(-2，0)，$

$所以OK=1，OH=2，$

$所以HK= \sqrt{OK²+OH²} =\sqrt{5} ，$

$所以 cos ∠ OKH = \frac {OK}{HK} = \frac {\sqrt{5}}{5} 。$

$因为以PQ为直径的圆交直线于M，N两点，$

$所以MN中必有一点与点Q重合，$

$不妨设点N与点Q重合.$

$因为PQ⊥x轴，$

$所以PQ//OK，$

$所以∠PQM=∠OKH ，$

$所以 cos ∠ PQ M = \frac {\sqrt{5}}{5} .$

$连接PM.因为PQ 是直径，$

$所以∠ PM Q =90°，$

$所以 cos ∠ PQ M =\frac {MQ}{PQ} = \frac {\sqrt{5}}{5} ，$

$所以MQ= \frac {2\sqrt{5}}{5}\ \mathrm {PQ}= \frac {\sqrt{5}}{5} (-x²+ \frac {9}{2} x+2)$

$= -\frac {\sqrt{5}}{5} (x-\frac {9}{4})²+ \frac {113\sqrt{5}}{80} .$

$令-(x-2)²+5=0，$

$解得x_1=2-\sqrt{5} ，x_2=2+\sqrt{5} .$

$因为P是新抛物线x轴上方一动点，$

$所以2-\sqrt{5} \lt x\lt 2+ \sqrt{5} .$

$因为- \frac {\sqrt{5}}{5} \lt 0，$

$所以当x= \frac {9}{4} 时，MQ取最大值\frac {113\sqrt{5}}{80}$

$故MN长的最大值是 \frac {113\sqrt{5}}{80} .$