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B

$2\sqrt{3} $

30°

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$解：(1)延长AE交⊙O于点D，连接BD.$

$因为点E是△ABC中边BC上的“平方点”，$

$所以AE²=BE×CE.$

$因为∠AEC=∠BED，∠C=∠D，$

$所以△ACE∽△BDE，$

$所以 \frac {AE}{BE} = \frac {CE}{DE} ，$

$所以AE×DE=BE×CE，$

$所以AE²=AE×DE，$

$所以AE=DE，$

$所以AD=2AE.$

$因为∠BAE=∠CAE，∠D=∠C，$

$所以△ABD∽△AEC，$

$所以\frac {AB}{AE} = \frac {AD}{AC} ，$

$所以AB×AC=AD×AE，$

$所以AB×AC=2AE²，$

$所以 \frac {AE}{AB×AC} = \frac {1}{2} .$

$解:(2) 如图，过点A作AD⊥BC于点D，$

$则∠ADB=∠ADC=90°。$

$因为∠BAC=90°，AB=4\sqrt{5} ，BC=10，$

$所以AC=\sqrt{BC²-AB²} =2 \sqrt{5} ，$

$所以S_{△ABC}= \frac {1}{2}× AB×AC=20.$

$又S_{△ABC}= \frac {1}{2}×BC×AD，$

$所以AD= \frac {2×20}{10} =4，$

$所以BD=\sqrt{AB²-AD²} =8，$

$CD= \sqrt{AC²-AD²} =2.$

$因为点E是△ABC中边BC上的“平方点”，$

$所以AE²=BE×CE.$

$又AE²=AD²+DE²，$

$所以BE×CE=AD²+DE².$

$设BE=x，$

$则CE=BC-BE=10-x，$

$DE=|BD-BE|=|8-x|，$

$所以x(10-x)=16+|8-x|²，$

$解得x=5或8.$

$故BE的长为5或8.$

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